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By PENA DANIEL

ISBN-10: 8448136101

ISBN-13: 9788448136109

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Colección Memoria y crítica de l. a. Educación. 2007. 224 p.

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Se demuestra que una condición suÞciente para que una matriz sea diagonalizable es que tenga valores propios distintos. 4. VECTORES Y VALORES PROPIOS 57 Consideremos ahora el caso general de P una matriz cuadrada de orden n con p valores propios λ1 , . . λp , con multiplicidad mi , pi=1 mi = n. Puede demostrarse que la condición para que A tenga n vectores propios linealmente independientes es que el rango de la matriz (A − λi I) = n−mi , y que esta condición se cumple si la matriz tiene valores propios distintos.

1¡Dados los ¢ ¡2¢ tres ¡vectores ¢ 1 a = 2 , b = 1 , c = −2 1 a) Representarlos en el plano <2 . b) Calcular los vectores suma y diferencia de a y b, a±b. c) Calcular la norma de los tres vectores. ¿ Qué podemos deducir de estos productos? e) Calcular la proyección del vector a sobre el b. f) JustiÞcar si los tres vectores son linealmente independientes. Si no lo son, expresar uno cualquiera como combinación lineal de los otros dos. 2 En <3 se denomina base canónica a la formada por los vectores a = (1, 0, 0)0 , b = (0, 1, 0)0 , y c = (0, 0, 1).

Esta es la condición de ortogonalidad: C0 = C−1 . Una matriz ortogonal debe tener Þlas (o columnas) que son vectores ortogonales entre sí y de longitud unidad, ya que:       c01 c01 c1 . . c01 cn 1 ... 0  ..   .  =  ..   .  [c1 . . cn ] =  ..   .  0 0 0 cn cn c1 . . cn cn 0 ... 1 además: |C| = |C0 | =1, donde |C| es el determinante de C. Por ejemplo, en <2 , la matriz µ ¶ cos α −sen α C= sen α cos α es ortogonal, ya que CC0 = I. Los vectores de una matriz ortogonal de orden n forman una base ortonormal de

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